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1. AllgemeinN. bezeichnet eine wiss. und kulturelle Bewegung des 18. Jh.s, in der sich ein an dem engl. Mathematiker und Physiker Isaac Newton (1643–1727) orientiertes Wissenschaftsverständnis in Europa verbreitete. Zu unterscheiden sind dabei verschiedene Aspekte: der (vorwiegend engl.) N. der unmittelbaren wiss. Freunde und Schüler Newtons (s. u. 2.); der N. als eine sich selbst so bezeichnende, freilich heterogene Bewegung der europ. Aufklärung (s. u. 3.–5.); und der N. als historiographische Kategorie zur retr…

1. Allgemeines Die Techniken und medialen Voraussetzungen des Rechnens gehören zu den ältesten Kulturleistungen der Menschheit. An manchen Orten (wie z. B. im Süden Mesopotamiens am Ende des 4. Jt.s v. Chr.) war die Einführung der Schrift unmittelbar mit Praktiken des schriftlichen Rechnens und Buchhaltens verknüpft. Wo eine theoretischere Arithmetik entstand, wie im antiken Griechenland, blieb das praktische Rechnen selbstverständlich weiterhin erhalten und besaß in vielen Fällen eine eigene Geschichte, die allerdings teilweise durch die Geschic…

1. Historische Entwicklung: ÜberblickDie G. – das math. Studium ebener und räumlicher Figuren – galt in der wiss. Tradition der um das Mittelmeer angesiedelten Kulturen seit der griech. Antike als Inbegriff einer exakten, ihre Resultate auf präzise formulierten Voraussetzungen gründenden und streng beweisenden Wissenschaft. Zugleich bildete sie – die Arithmetik in dieser Hinsicht lange übertreffend – deren mächtigste Sprache zur Beschreibung von Größenverhältnissen aus, von der unmittelbaren Messung räumlicher Verhältnisse über die Astro…

1. Antike und mittelalterliche TraditionenDie O. (von griech. optikós, »zum Sehen gehörend«) entwickelte sich bereits im hellenistischen Griechenland zu einer anspruchsvollen math. Wissenschaft mit den drei Zweigen der O. im engeren Sinn: (1) der Theorie des Sehens, des Auges und des Lichts mit philosophischen, physiologischen und math. Anteilen (u. a. Zentral-Perspektive); (2) der Katoptrik (der Theorie der Reflexion an spiegelnden Flächen); und (3) der Dioptrik (der Theorie der Refraktion oder Brechung beim Übergang zwischen verschiedenen optischen Medien). Islam. Aut…

Die B. (Lehre von der Bewegung von Geschossen) gehört zu den Wissensgebieten, die bei der Herausbildung der neuen Wissenschaft des 16. und 17. Jh.s im Zentrum stand. Sie lieferte sowohl eine Motivation als auch eines der schwierigsten Anwendungsgebiete der Mechanik als einer mathematisierten Bewegungslehre. Zugleich stand sie in einer nicht immer einfachen Beziehung zu der Waffentechnik und Artillerie der Nz. In der Konzeptualisierung der Bewegung eines Geschosses konkurrierten zwei Vorstellungen: Die Bewegung des Geschosses war einerseits als Bewegung …

1. AnfängeAuch wenn die Gleichheit von Größen und Figuren bzw. von Zahl- und Größenverhältnissen eine Relation ist, die in den Mathematischen Wissenschaften seit ihren Anfängen in Gebrauch war, rückte das Lösen von G., d. h. der symbolisch ausgedrückten Gleichheit zweier algebraischer Ausdrücke, die bekannte und unbekannte Größen enthalten, erst um 1600 – mit dem Aufkommen der symbolischen Algebra und der sich darauf stützenden analytischen Geometrie – in den Brennpunkt der math. Problemlösekunst. Schon zuvor hatte sich jedoch (im Anschluss an vorausgehende…

A. S. (»Analysis der Lage«) oder geometria situs (»Geometrie der Lage«) kam zu Ende des 17. Jh.s als frühe Bezeichnung jenes im Lauf des 18. und 19. Jh.s zunächst nur sehr langsam erschlossenen neuen Gebietes der Mathematik (vgl. Mathematische Wissenschaften) auf, das heute als Topologie bezeichnet wird. Es handelt sich neben der mathematischen Theorie der Wahrscheinlichkeit wohl um das bedeutendste in der Nz. völlig neu konzipierte, ganz ohne antike Anknüpfungspunkte entstandene Teilgebiet der Mathematik.Zur selben Zeit, in der sich die nzl. Analysis in den beide…

Der Begriff M. geht auf den griech. Plural ta mathēmatiká (»die math. Dinge« – gebraucht u. a. bei Aristoteles –, von griech. máthēma, Gegenstand der »Kenntnis« oder »Lehre«) und die lat. Entlehnung mathematica (u. a. bei Cicero) zurück. In vielen europ. Sprachen sind heute noch Pluralformen gebräuchlich (z. B. engl. mathematics, franz. les mathématiques). Den Sinn einer Bezeichnung einer einheitlichen wiss. Disziplin hat der Singular M. im Deutschen erst im Übergang vom 18. zum 19. Jh. angenommen. Davor wurde die M. in der Nz. sehr viel umfassender als der Bereich aller mathemati…

Der Gebrauch von Gegenständen zum Messen und Rechnen begleitet die mathematischen Wissenschaften und rechnerische sowie zeichnerische Praktiken seit der Antike. Die Zeicheninstrumente Lineal und Zirkel waren seither ebenso in Verwendung wie verschiedene I. zur Winkelmessung in der Astronomie. Die Entwicklung von M. I. für den astronomischen Bereich nahm in der Blütezeit der arab.-islam. Wissenschaft (10.–13. Jh.) bedeutenden Umfang an. Die großen arab. Beobachtungszentren wie Maragha (13.–14. Jh.) besaßen eigene Werkstätten zur I.-Herstellung. Manche diese…

1. AllgemeinDie M. W. (lat. disciplinae mathematicae) umfassten zunächst die aus der hellenistischen Antike überlieferten Teilbereiche math. Wissens. Ihre Stellung in der Wissenskultur des späten MA war niedrig und eng auf bestimmte Gebiete begrenzt (vgl. u. a. Mathematik, musikalische). Im Laufe des 16. und 17. Jh.s erlebten nicht nur die klassischen Zweige der M. W. eine tiefgreifende Erneuerung, sondern es traten auch neue Bereiche hinzu und verbreiteten sich in der frühnzl. Gesellschaft. Die Refo…

1. AllgemeinWo immer Wissenschaften sich als kulturelle Praktiken verstanden, die gezielt neues Wissen (= Ws.) suchten und hervorbrachten, gehörten eine Gegenüberstellung von »alten« und »neuen« Kenntnissen und eine Inszenierung der Ws.- und der Wissenschaftsgeschichte (= Wg.) zu den Grundelementen der Wissenschaftskultur. Daher wurde der Aufstieg der sog. neuen Wissenschaft im frühnzl. Europa (Wissenschaftliche Revolution) von einer vielfältigen Praxis der W. begleitet. Im 18. Jh. bündelten sich diese Praktiken in umfassenden …

Die Bezeichnung M. G. (lat.; »auf geometrische = geom. Weise«, »im geom. Stil«) wurde v. a. durch die Schriften Baruch de Spinozas in die europ. Philosophie eingeführt. In seiner Ethica, ordine [oft auch: more] geometrico demonstrata (1677; »Ethik, auf geom. Weise demonstriert«) legte er ein vieldiskutiertes System der philosophischen Ethik vor, das in seinen Augen nicht nur ebenso zwingend begründet war wie das System der klassischen (hellenistischen) Geometrie, sondern auch seine Gegenstände so nüchtern und präzise behandelte wie jene. Im Vorwort zum dritte…

1. Traditionen und Anfänge im 16. Jh.Die Vermessung der Erde, gestützt auf optische, astronomische und math. Verfahren und Instrumente, bildete einen bedeutenden Strang der neuen europ. Naturwissenschaft des 16. und 17. Jh.s. Von ökonomischer, militärischer und politischer Bedeutung und eng verknüpft mit der Navigation zur See, lieferte sie mehrfach Anlass und Anwendungsfeld naturwiss. Innovationen.Die Anfänge der nzl. G. liegen im Bereich der Herstellung von Karten und Globen (Kartographie) [3], die weit in frühere Kulturen zurückreichte und vor der Entfaltun…

1. AllgemeinDie math. und physikalische Beschreibung der Bewegung von Flüssigkeiten gehörte zu jenen Feldern der nzl. mathematischen Wissenschaften, die aufgrund ihrer Komplexität die jeweils anspruchsvollsten Techniken der Mathematik herausforderten, während gleichzeitig eine produktive Spannung zwischen hydraulischen (hydrotechnischen) Problemen, experimentellem Studium, theoretischer Analyse und den Möglichkeiten effektiver Berechnung bestand. Moritz Epple2. Vom 15. bis zum 17. JahrhundertDer Wasserbau, der bereits die antiken Städte prägte, gewa…

Ein zentraler Aspekt der Erneuerung der Mathematik im 17. Jh. war die Kombination geometrischer Themen mit symbolisch-kalkulatorischen Techniken, die sich auf das Infinitesimale, d. h. das unendlich Kleine bezogen (Analysis; Infinitesimalien). Dadurch wurde eine neue Weise, Geometrie zu betreiben möglich, die für das 17. Jh. am treffendsten als Infinitesimalgeometrie bezeichnet wird und die sich ab dem 18. Jh. – dem Jahrhundert des Ausbaus des Differentialkalküls – als D. weiterentwickelte.Gegenstand der D. waren im 17. und 18. Jh. insbes. die Krümmungseigen…

1. IntroductionWherever sciences (Science) have seen themselves as cultural practices of deliberately seeking and establishing new knowledge, an opposition of “old” and “new” knowledge and staging of the history of knowledge and science have been fundamental elements of scientific culture. Accordingly, the rise of the “new science” in early modern Europe (Scientific Revolution) was accompanied by a diverse historiography of science. During the 18th century, that historiographical work coalesced i…

1. GeneralDue to its complexity, the mathematical and physical description of the motion of fluids was one of the areas of the mathematical sciences that demanded the application of the most advanced techniques in mathematics, while in the context of the time, there was a productive interaction between problems in hydraulics, experimental study, theoretical analysis and the possibility of effective computation.Moritz Epple2. From the 15th to the 17th century Hydraulic engineering, which had shaped the cities of antiquity, gained great sig…

1. IntroductionNewtonianism was a scientific and cultural movement of the 18th century that propagated throughout Europe a view of science inspired by the English mathematician and physicist Isaac Newton (1643–1727). The phenomenon had a number of distinct manifestations: the mainly British Newtonianism of Newton's immediate scientific friends and students (see below, 2.); Newtonianism as a self-styled – and heterogeneous – movement of the European Enlightenment (see below, 3.-5.), and Newtoniani…

1. Traditions and beginnings in the 16th century The process of measuring of the earth, supported by optical, astronomical and mathematical tools and procedures, was an important component of the new European natural sciences of the 16th and 17th century. This practise was closely tied to maritime navigation and was of economic, military and political significance. As such it served both as a field of application and a driver for innovation in the natural sciences.Modern geodesy had its origins in the manufacturing of maps and globes (Cartography). This practise was k…

The term “mathematics,” plural in form but treated as singular in English, derives from the Greek plural ta mathematiká (“the mathematical things” – used by Aristotle and others –, from the Greek máthema, subject of “knowledge” or “teaching”) and the Latin loanword mathematica (e.g. in Cicero). Full plural forms are still used in many other European languages today (e.g. French les mathématiques; Spanish las matemáticas). The German singular Mathematik acquired the sense of denoting a unified scientific discipline only at the turn of the 19th century. Before …

1. Historical development: overview From Greek antiquity onwards, the cultures of the Mediterranean considered geometry - the study of figures on the plane and in space - to be the epitome of an exact science, relying on strict proofs based on precisely formulated assumptions. Geometry moreover represented science’s most powerful language for expressing relations of size, trumping the arithmetica universalis. Its domain extended from direct measurement of spatial proportions through astronomy and optics to the art of construction.The early modern era witnessed a remar…

The term more geometrico (Latin: “in a geometric manner/style”) was introduced into European philosophy primarily through the writings of Baruch de Spinoza. In his  Ethica, ordine [or, often: more] geometrico demonstrata (1677; “Ethics, demonstrated in the geometric manner”), he presented a much-discussed system of philosophical ethics that he considered not only as categorically binding as the system of classical (Hellenistic) geometry, but also as treating its subjects just as literally and precisely as that geometry. …

The use of equipment to measure and calculate has accompanied the mathematical sciences and practices of calculation and draftsmanship since Grec-Roman antiquity, when drawing instruments – the ruler and the dividers – began to be used in astronomy along with various devices for measuring angles. The development of mathematical instruments for astronomy intensified greatly during the heyday of Arabian Islamic science (10th-13th centuries). The great Arabian observation centers like Maragha (13th…

1. Introduction The mathematical sciences (Latin disciplinae mathematicae) initially encompassed the fields of mathematical study that dated back to Hellenistic antiquity. Their status in the knowledge culture of the late Middle Ages was low and strictly limited to certain areas (cf. e.g. Mathematics, musical). Over the course of the 16th and 17th centuries, not only did the classical branches of the mathematical sciences enjoy a profound renewal, but new fields emerged alongside them, becoming establi…

A key aspect of the renewal of mathematics in the 17th century was the combination of geometric themes with symbolic/calculatory techniques related to the infinitesimal, that is, the infinitely small (Analysis, mathematical; Infinitesimals). This enabled a new way of conducting geometry, the most appropriate term for which in the 17th century is infinitesimal geometry and which from the 18th century onwards - the century of the elaboration of differential calculus - developed further as differential geometry.The main subjects of differential geometry in the 17th and…

At the end of the 17th century,  analysis situs (“analysis of the location”) or geometria situs (“geometry of the location”) came into use as an early term for the field of mathematics we today call topology, a new field initially developed very slowly during the 18th and 19th centuries (see Mathematical sciences). Alongside the mathematical theory of probability, its was the most important field of mathematics to be developed totally from the ground up in the Early Modern era, without any roots in antiquity.At the same time as modern analysis (Analysis, mathematical) was c…

1. Ancient and medieval traditionsOptics (from the Greek optikós, “of/for sight”) was already developing into a sophisticated mathematical science in Hellenistic Greece, incorporating three branches of optics in the stricter sense: (1) the theory of sight, the eye, and light, including philosophical, physiological, and mathematical aspects (e.g. central perspective); (2) catoptrics (the theory of reflection on mirrored surfaces); and (3) dioptrics (the theory of refraction at transitions between different optical media).Islamic authors, notably Ibn al-Haytham …

Ballistics (the science of the behavior of projectiles) was one of the disciplines that played a key role in the emergence of the new science of the 16th and 17th centuries. It provided both a motivation and one of the trickiest applications for mechanics as a mathematical science of motion. It was also related, not always straightforwardly, with early modern weaponry and artillery.Two concepts of the motion of a projectile were in competition. First, it was possible to see the phenomenon as the motion of a body through a continuous medium. Alternativel…

1. General The techniques of arithmetic and the media required are among the earliest cultural achievements of humankind. In many places (e.g. southern Mesopotamia at the end of the 4th millenium BCE), the introduction of writing was associated directly with the techniques of written arithmetical calculation and bookkeeping. Where arithmetical theory emerged, as in ancient Greece, practical calculation naturally remained in use as well; in many cases it had its own separate history, concealed in part by the history of academic mathematics [3]. The latter also includes the te…

1. BeginningsEven though the equality of quantities and figures or numbers and ratios is a relationship that had been in use in the mathematical sciences since their beginnings, solving equations, that is, the symbolically expressed equality of two algebraic expressions containing known and unknown quantities, did not become a focus of mathematical problem solving until around 1600 – with the advent of symbolic algebra and the analytic geometry dependent on it. Even earlier, though (building on s…

1. Schifffahrtspraxis Die europ. N. hatte in der Nz. weltweit regelmäßige Segelfahrten von einem Hafen zum anderen möglichst zuverlässig und sicher zu gewährleisten (Hochseeschifffahrt) [7]. Sie war Aufgabe des Kapitäns und des Steuermanns als seines Stellvertreters. Beide führten je eine Wache und meldeten dem anderen bei Wachwechsel den jeweiligen Verlauf. Auf dem achteren Aufbau hatten sie die nötige Rundsicht zur Kontrolle von Segelführung und Schiffszustand, Bahnführung, Schiffsstandort und Wetter. Von dort riefen…

1. Begriff und EntwicklungDas heutige Verständnis von Ph. als einer auf die Eigenschaften und Gesetze der unbelebten Materie gerichteten Wissenschaft, die aufgrund von Experiment und Messung math. formulierte Theorien entwickelt, entstand erst im späten 18. und frühen 19. Jh. aus der weiter gefassten Bestimmung als Naturlehre oder Naturphilosophie (Physikalische Wissenschaften). Zentral war die Zuspitzung auf einen spezifischen Gegenstandsbereich und die zunehmende Einbeziehung quantitativer und math. Verfahren (Quantifizierung und Messung) [6. Kap. 5]; [5].Ein we…

1. Concept and originsThe present-day understanding of physics as a science concerned with the properties and laws of inanimate matter and the development of mathematically-formulated theories on the basis of experiment and measurement arose only in the late 18th and early 19th centuries out of the wider sense of physics as natural philosophy (Physical sciences). The key development was the focus on a specific subject area and the increasing reliance on quantitative and mathematical procedures (Quantification and measurement) [6. chapter 5]; [5].One important impulse cam…

1. Seafaring practice European navigation in the early modern period was tasked with ensuring that regular passages under sail from one harbor to another worldwide were conducted as reliably and safely as possible (Deep sea navigation) [7]. It was the responsibility of the captain, with the helmsman as his deputy. The two took alternate watches, each informing the other of the prevailing course when changing the watch. The aft deck gave them the necessary clear all-round view to monitor the condition of the ship and sails, as we…